自然と数理

電磁気

• 密度 1 g/cm ³ の世界．原子から惑星・太陽までのスケールの現象において，もっとも支配的なのは電磁気である．
• 電池と電球を導線でつなぐ．エネルギーはどこを流れるか．導線の中ではない．
• 電界，磁界，エネルギーの流れ．
  • 電界は荷電粒子に対して力を及ぼす．
    電界の方向に荷電粒子が動くとき，電界と荷電粒子の間に，電界の強さに比例するエネルギーの授受がある．
  • 磁界は動く荷電粒子を曲げる．磁界の向き・荷電粒子の速度の向きと垂直の向きの力を及ぼす．
    磁界と荷電粒子の間にエネルギーの授受はない．
  • 電界・磁界に垂直な向きにエネルギーが流れる．これが基本原理である．
• Ampère の法則．
  • 電流と同じ方向の電界があるとすると，電界と荷電粒子の間に，電界の強さに比例するエネルギーの授受がある．
    このエネルギーはどこを通ったか．
  • 電流を軸とする円柱を考える．円柱の両端の面は電界に垂直なので，エネルギーは円柱の側面を通るしかない．
    側面上では電界が軸に平行なので，側面を横切るエネルギーの流れがあるということは，側面の回転方向に磁界があることになる．
    この磁界は電界が0でも存在する．
• 電池と電球を導線でつなぐ場合，プラス側の導線の方からマイナス側の導線の方に向かう電界と，導線のまわりを回る方向の磁界がある．
  よって，空間を通って，電池側から電球側へエネルギーの流れがある．
• Maxwell の変位電流．
  • 電界の方向を軸とする円柱を考える．電界の大きさが時間的に変化するとき，円柱内の電界のエネルギーが変化する．
    このエネルギーはどこを通ったか．
  • 円柱の両端の面は電界に垂直なので，エネルギーは円柱の側面を通るしかない．
    側面上では電界が軸に平行なので，側面を横切るエネルギーの流れがあるということは，側面の回転方向に磁界があることになる．
    この磁界は電界が0である瞬間にも存在する．
• Faraday の電磁誘導．
  • 磁界の方向を軸とする円柱を考える．磁界の大きさが時間的に変化するとき，円柱内の磁界のエネルギーが変化する．
    このエネルギーはどこを通ったか．
  • 円柱の両端の面は磁界に垂直なので，エネルギーは円柱の側面を通るしかない．
    側面上では磁界が軸に平行なので，側面を横切るエネルギーの流れがあるということは，側面の回転方向に電界があることになる．
    この電界は磁界が0である瞬間にも存在する．
• 上の議論をより定量的におこなうには，空間ベクトルの内積・外積という演算が必要である．
• 電界と磁界の外積を Poynting ベクトル という．これは単位時間に単位面積を横切るエネルギーである．
• 上の法則のほかに，電荷の保存，磁束の保存という法則がある．