yoshitake-hのブログ

Compton 効果と相対論

phys

Planck 定数を $h$ ，光速を $c$ とする．

X線を物質に入射するとき，入射X線，散乱X線の波長を $\lambda,\, \lambda'$ とすると，
その差 $\Delta \lambda =\lambda'-\lambda$ は，散乱角 $\theta$ のみにより，入射X線の波長にはよらない．

X線が電子に与えた運動量，エネルギーをそれぞれ $p,\,T$ とすると，

$T= \frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{\lambda \lambda' }\, \Delta \lambda,$

$p^2 = \left( \frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'}\cos \theta \right)^2 +\left( \frac{h}{\lambda'}\sin \theta \right)^2$
$= \left( \frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'} \right)^2 +\frac{2h^2}{\lambda \lambda' }(1-\cos\theta ).$
そこで
$\Delta \lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )$
とおくと，

$p^2 =c^{-2}T^2+2mT.$

$\therefore \quad (mc^2)^2+(cp)^2 = (mc^2+T)^2,$

$T=\sqrt{(mc^2)^2+(cp)^2}-mc^2 \sim \frac{1}{2m}p^2 .$

したがって， $m$ は電子の質量，
静止している電子のエネルギーは $mc^2$ ，
運動量 $p$ の電子のエネルギーは $\sqrt{(mc^2)^2+(cp)^2}$ であると考えられる．