Stirling の公式 - yoshitake-hのブログ

$n!$ と $n^n$ を比較する．
$a_n=\frac{n!}{n^n}$
とおくと，
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} =\left( 1+\frac{1}n \right)^{-n}\to e^{-1}.$
そこで
$b_n=(n!)\left(\frac{e}n\right)^n$
とおくと，
$\frac{b_{n+1} }{b_n} =e\left( \frac{n}{n+1} \right)^n =e\left(1+\frac{1}n\right)^{-n}>1,\quad \lim_{n\to \infty}\, \frac{b_{n+1} }{b_n} =1.$
さらに，
$\frac{b_{2n}}{b_n} = \prod_{k=1}^n\frac{b_{n+k}}{b_{n+k-1}} = e^n \frac{n^n}{(2n)^{2n-1}} \cdot \frac{(2n-1)!}{n!} =1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2n-1) \left( \frac{e}{2n}\right)^n.$
右辺を $c_n$ とおくと，
$\frac{b_n}{c_n}= \frac{2\cdot 4\cdot \cdots \cdot (2n)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2n-1)},$
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = e\, \left( 1+\frac{1}n\right)^{-n} \frac{2n+1}{2n+2} >1.$
また，
$\frac{1}n\log (c_n)=\log(\frac{e}4) +\frac{1}n\sum_{k=1}^n \log(1+\frac{k}n) =-\int_1^2\log(x)\,dx+ \frac{1}n\sum_{k=1}^n \log(1+\frac{k}n)$
$= \sum_{k=1}^n \int_{1+\frac{k-1}n}^{1+\frac{k}n} \left( \log(1+\frac{k}n) -\log (x)\right) \, dx \\ < \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n} \left( \log (1+\frac{k}n )-\log (1+\frac{k-1}n) \right) = \frac{1}{2n}\log 2.$
（　 $(\log x)''<0$ より．）
よって $c_n<\sqrt{2}.$
よって $c_n$ は収束する．
Wallis の公式より，
- これは次の不等式より従う．
  $\int_0^{\pi/2} (\sin \theta)^{2n+2}d\theta \le \int_0^{\pi/2} (\sin \theta)^{2n+1}d\theta \le \int_0^{\pi/2} (\sin \theta)^{2n}d\theta .$
よって，
$\left(\frac{b_n}{c_n}\right)^2\frac{1}{2n+1}\to \frac{\pi}2.$
したがって， $b_n/\sqrt{n}$ は収束する．
よって，
$\lim_{n\to \infty} c_n =\lim_{n\to \infty} \frac{b_{2n}/\sqrt{n}}{b_n/\sqrt{n}} =\sqrt{2},\quad \lim_{n\to \infty} \frac{b_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2\pi}.$
よって次が得られる．

Stirling の公式
$\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{e^{-n}n^{n+\frac{1}2} }=\sqrt{2\pi}.$

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20131021