ピタゴラス数を生み出す行列

http://www.ams.org/journals/proc/1990-109-01/S0002-9939-1990-1000148-0/
http://www.hamadajuku.com/column/math/pythagoras.aspx
小林吹代『ピタゴラス数を生み出す行列のはなし』ペレ出版 (2008)
細矢治夫『ピタゴラスの三角形とその数理』共立出版 (2011)

$x^2+y^2-z^2=0$ をみたす primitive element $(x,\,y,\,z)\in \mathbb{Z}^3$ で $y$ が偶数かつ $z>0$ であるもの全体の集合を $X$ とする．

定理1
$\begin{bmatrix}-1 & -2 & 2 \\ -2& -1 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \end{bmatrix} ,\; \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
の生成する群は， $X$ に推移的に作用する．

以下で述べる定理1の証明には用いないが，
$P= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} -2\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-1 & -2 & 2 \\ -2& -1 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \end{bmatrix}$
は，ローレンツ計量
$q\left( x,\,y,\,z \right)=x^2+y^2-z^2$
に関する $(1,\,1,\,1)$ の直交補空間に対する鏡映である．

$Q\left( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \right) =\begin{bmatrix} a^2-b^2 \\ 2ab \\ a^2+b^2 \end{bmatrix}$

とおくと，

$Q\left( \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \right)=\begin{bmatrix}-1 & -2 & 2 \\ -2& -1 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \end{bmatrix}Q\left( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \right),$
$Q\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \right)=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}Q\left( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \right) ,$
$Q\left( \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \right)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}Q\left( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \right) .$

また，

$\mathbb{Z}^2$ の primitive element $(a,\,b)$ で $a+b$ が奇数であるもの全体の集合を $Y$ とすると， $Q(Y)=X.$

これは次より従う．

$\frac{1-t^2}{1+t^2},\; \frac{2t}{1+t^2}\in \mathbb{Q} \;\Rightarrow\; t\in \mathbb{Q}.$

よって定理1は次より従う．

定理2
$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$
の生成する群は， $Y$ に推移的に作用する．

この定理は次より従う．

補題
$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a' \\ b' \end{bmatrix} ,\quad a>b>0$
とすると， $|a'|<a,\;b'=b.$

なお，
$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix} ,\quad \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$