yoshitake-hのブログ

平方剰余の相互法則

math

1の n 乗根全体の集合を $R(n)$ とする．
その上の全順序を， $0\le 1\le \cdots \le n-1$ によって定める．

$p,\,l$ を相異なる奇素数とする．

$\eta\in R(p)$ の $l$ 乗根のうち，偏角が $(0,\,\frac{2\pi}l)$ に属するものを $\eta^{1/l}$ とする．

$(\eta^{1/l})^l=\eta.$

$\alpha:R(p)\to R(l)$ を， $\eta=(\eta^l)^{1/l}\alpha(\eta)$ によって定める．

$f,\,g:R(l)\times R(p)\to R(pl)$ を，
$f(\xi,\,\eta)=\xi\eta,\; g(\xi,\,\eta)=\xi\eta^{1/l}$ によって定めると，これらは全単射で，
$g\circ f(\xi,\,\eta)=(\xi\alpha(\eta),\,\eta^l)$

奇数次の巡回置換は偶置換なので，置換 $g\circ f$ の符号は，
$R(p)\to R(p),\quad \eta \mapsto \eta^l$ の符号に等しいので，
$\left(\frac{l}p\right).$

$g: R(l)\times R(p) \to R(pl)$ は辞書式順序を， $R(pl)$ の順序に写す．

$R(l)\times R(p)$ の辞書式順序と $R(p)$ を1文字目とする辞書式順序の間の置換の符号は，
$(-1)^{\frac{l(l-1)}2\cdot \frac{p(p-1)}2} = (-1)^{\frac{l-1}2\cdot \frac{p-1}2}.$

以上により，次が言える．

$\left(\frac{p}l\right) =(-1)^{\frac{l-1}2\cdot \frac{p-1}2}\left(\frac{l}p\right).$