計算化学 - yoshitake-hのブログ

電子のスピン．複素数とスピノル．

空間ベクトル $e_1,\,e_2,\,e_3$ が正規直交基底であるとする．
電子の磁気モーメント $M$ の $e_3$ 方向の成分を測定するとき，値は＋1と−1の2つ．
測定結果がつねに＋1である状態を $s_+,$ つねに−1である状態を $s_-$ とする．
それ以外の状態は複素数係数の1次結合 $\psi_+s_++\psi_-s_-$ で表される．
$M$ の $(\cos\theta)e_3+(\sin \theta)e_1$ 方向の成分を測定するとき，値がつねに＋である状態は，
$(\cos\frac{\theta}2) s_++(\sin\frac{\theta}2)s_-$
で表される．
この状態の電子に対し， $M$ の $e_3$ 方向の成分の測定値が +1 である確率は $(\cos\frac{\theta}2) ^2,$ −1 である確率は $(\sin\frac{\theta}2) ^2$ であり，期待値は，
$(+1)\cdot (\cos\frac{\theta}2) ^2+(-1)\cdot (\sin\frac{\theta}2)^2=\cos\theta.$
Euler の等式．
$M$ の
$x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3 = (\cos\theta)e_3+(\sin \theta) [(\cos\varphi)e_1+(\sin \varphi)e_2]$
方向の成分を測定するとき，値がつねに＋である状態は，
$zs_++ws_-=\mathrm{e}^{i\varphi/2}(\cos\frac{\theta}2)s_++ \mathrm{e}^{-i\varphi/2}(\sin\frac{\theta}2)s_-$
で表される．このとき，
$x_3=|z|^2-|w|^2,\quad x_1+ix_2 = 2z\overline{w}.$
複素数 $z,\,w$ に対し， $zs_++ws_-$ を スピノル という．