yoshitake-hのブログ

Compton 効果から相対論へ

phys

Planck 定数を $h$ ，光速を $c$ ，電子の質量を $m$ とする．

X線を物質に入射するとき，入射X線，散乱X線の波長を $\lambda,\,\lambda'$ ，散乱角を $\theta$ とすると，

$\lambda'-\lambda =\frac{h}{mc} (1-\cos (\theta) ).$

X線が運動量0の電子に与えた運動量，エネルギーを $p,\,T$ とすると，

$p^2 = \left( \frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'}\cos (\theta) \right)^2 +\left(\frac{h}{\lambda'}\sin (\theta) \right)^2 = \left( \frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'}\right)^2+\frac{2h^2}{\lambda \lambda'}(1-\cos(\theta) ),$

$=\left( \frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'}\right)^2+ 2mc\left( \frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'}\right) =c^{-2}T^2+2mT.$

$\therefore \quad (mc^2)^2+(cp)^2 = (mc^2+T)^2,\quad T=\sqrt{(mc^2)^2+(cp)^2}-mc^2 .$

したがって，静止している電子のエネルギーは $mc^2$ ，運動量 $p$ の電子のエネルギーは $\sqrt{(mc^2)^2+(cp)^2}$ であると考えるのが自然である．

エネルギーと運動量の関係は， θ = π としても導出できる．