緩増加関数と急減少関数 - yoshitake-hのブログ

$\mathbb{R}^n$ 上の複素数値関数 $u$ が 多項式増大度 であるとは，， $m\in \mathbb{Z}_{\ge 0},\; C>0$ が存在して， $|u(x)|\le C(1+|x|)^m\; (x\in\mathbb{R}^n)$ となること．
$\mathbb{R}^n$ 上の複素数値 $C^\infty$ 関数 $u$ が 緩増加 であるとは，任意の多重指数 $\alpha=(\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_n) \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ に対し， $\partial^\alpha u$ が多項式増大度であること．緩増加関数全体のなす可換 $\mathbb{C}$ 代数を $\mathcal{C}^\mathrm{temp}=\mathcal{C}_n^\mathrm{temp}$ とする．
$\partial_j:\mathcal{C}^\mathrm{temp}\to \mathcal{C}^\mathrm{temp}\; (j=1,\,\dots,\,n)$
$\mathcal{C}^\mathrm{temp}$ 係数微分作用素のなす $\mathbb{C}$ 代数を $\mathcal{D} ^\mathrm{temp} =\mathcal{D}_n^\mathrm{temp}$ とする．

$\mathbb{R}^n$ 上の複素数値 $C^\infty$ 関数 $u$ が 急減少 であるとは，任意の多重指数 $\alpha=(\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_n) \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ と $m\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ に対し， $|x|^m\partial^\alpha u(x)$ が有界であること．急減少関数全体のなす $\mathbb{C}$ ベクトル空間を $\mathcal{S}=\mathcal{S}_n$ とする． $\mathcal{S}$ は $\mathcal{D}^\mathrm{temp}$ 加群である．