sin の n 倍角の公式 - yoshitake-hのブログ

$n=2m-1$ のとき，
$\sin(nx)=n\sin(x) \prod_{k=1}^{m-1} (1-\frac{(\sin x)^2}{(\sin \frac{k\pi}n)^2}).$
$n=2m$ のとき，
$\sin(nx)=n\sin(x) \cos(x)\prod_{k=1}^{m-1} (1-\frac{(\sin x)^2}{(\sin \frac{k\pi}n)^2}).$

証明
$\begin{bmatrix} \cos( kx) \\ \sin (kx) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin (x) & \cos(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos( (k-1)x) \\ \sin ( (k-1)x) \end{bmatrix}$
より， $n=2m-1$ のとき，
$\frac{\cos(nx)}{\cos(x)},\;\sin(nx)$
が， $\sin(x)$ の $n-1,\,n$ 次の多項式で書ける．

$n=2m$ のとき，
$\cos(nx),\; \frac{\sin(nx)}{\cos(x)}$
が， $\sin(x)$ の $n,\,n-1$ 次の多項式で書ける．

$n=2m-1$ のとき， $\sin(nx)=f(\sin(x) )$ とおくと， $f(X)$ は $n$ 次多項式で，
$X=0,\, \pm \sin\frac{k\pi}n\;(k=1,\,\dots,\,m-1)$
がすべての根．よって，
$\sin(nx)=C\sin(x) \prod_{k=1}^{m-1} (1-\frac{(\sin x)^2}{(\sin \frac{k\pi}n)^2}).$
両辺を $\sin(x)$ で割って $x\to 0$ とすると $C=n$ が得られる．

$n=2m$ のときは， $\sin(nx)=g(\sin(x) ) \cos(x)$ とおくと， $g(X)$ は $n-1$ 次多項式で，
$X=0,\, \pm \sin\frac{k\pi}n\;(k=1,\,\dots,\,m-1)$
がすべての根．よって，
$\sin(nx)=C\sin(x) \cos(x)\prod_{k=1}^{m-1} (1-\frac{(\sin x)^2}{(\sin \frac{k\pi}n)^2}).$
両辺を $\sin(x)$ で割って $x\to 0$ とすると $C=n$ が得られる．□

$n=3$ のとき，
$\sin(3x)=3\sin(x) (1-\frac{(\sin x)^2}{(\frac{\sqrt{3} }2)^2 } )= 3\sin (x)-4(\sin x)^3.$