3点集合 - yoshitake-hのブログ

4つの3点集合 $T_1,\,T_2,\,T_3,\,T_4$ に対し， $T_1,\,T_2$ の間のすべての全単射をパリティで分けたものが $T_3,\,T_4$ であるとすると，1, 2, 3, 4 を置換しても同じ対応が誘導される．
$T_1,\,T_2,\,T_3,\,T_4$ を $\mathbb{F}_3$ 上のアフィン平面 $A^2(\mathbb{F}_3)$ 上の直線全体を傾きごとに分けたものと見なすと，上の事実は自然に解釈できる．
$T_5=\{(12)(34),\,(13)(24),\,(14)(23)\}$ とおく．これは 4点つき射影直線 $(P^1(\overline{\mathbb{F}_3}),\,P^1(\mathbb{F}_3) )$ の退化の集合に対応する．
$A^2(\mathbb{F}_3)$ 上の点または直線全体の集合を $Y$ とすると，24 点集合 $Y\cup T_5$ 上の置換群としてマチウ群 M₂₄ を構成することができる．