Euler の五角数定理 - yoshitake-hのブログ

$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}(-1)^kx^{k(3k-1)/2}$

$A(N,\,k) =\{\lambda=(\lambda_1,\,\dots,\,\lambda_k)\in\mathbb{N}^k\mid \lambda_i>\lambda_{i+1},\; \lambda_1+\cdots+\lambda_k=N\}$ とすると，
$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{N=1}^\infty \sum_{k\ge 1}(-1)^k|A(N,\,k)|\,x^N.$
$\lambda\in A(N,\,k)$ に対し， $\lambda_i=\lambda_1-i+1$ となる最大の $i$ を $m(\lambda)$ とする．
$A'(N,\,k) =\{\lambda\in A(N,\,k)\mid m(\lambda)<k\},$
$A''(N,\,k) =\{\lambda\in A(N,\,k)\mid m(\lambda)=k\}$ とする．

$A'_1(N,\,k) =\{\lambda\in A'(N,\,k)\mid \lambda_k\le m(\lambda)\},$
$A''_1(N,\,k) =\{\lambda\in A(N,\,k)\mid \lambda_k<m(\lambda)\},$
$A'_2(N,\,k) =\{\lambda\in A''(N,\,k)\mid m(\lambda)<\lambda_k\}$
$A''_2(N,\,k) =\{\lambda\in A''(N,\,k)\mid m(\lambda)<\lambda_k-1\}$ とおくと，

$A'(N,\,k) =A'_1(N,\,k)\sqcup A'_2(N,\,k).$
$A'_1(N,\,k)$ から $A'_2(N,\,k-1)$ への全単射がある．
$A''_1(N,\,k)$ から $A''_2(N,\,k-1)$ への全単射がある．
の元は，次の2つのタイプに限る．
- $k=m(\lambda)=\lambda_k-1,\; N=(k+1)+(k+2)+\cdots+2k=\frac{k(3k+1)}2.$
- $k=m(\lambda)=\lambda_k,\; N=k+(k+1)+\cdots+(2k-1)=\frac{k(3k-1)}2.$