yoshitake-hのブログ

楕円型方程式

math

補題
$\mathbb{R}^n$ 上のコンパクト台をもつ実数値 $C^2$ 関数 $u$ と実数 $\lambda$ に対し，

$(-\Delta +\lambda)u=f$

とすると， $L^2$ ノルム $\Vert \cdot \Vert$ に対し，

$\lambda^2\Vert u\Vert^2+2\lambda \sum_j\Vert \partial_ju\Vert^2+\sum_{i,\,j}\Vert \partial_i\partial_ju\Vert^2=\Vert f\Vert^2.$

Fourier 解析による証明
$\quad \Vert \hat{f}\Vert^2 =\int (\sum_i{\xi_i}^2\hat{u}+\lambda \hat{u} )(\sum_j{\xi_j}^2\hat{u}+\lambda \hat{u}) \\ =\lambda^2\Vert \hat{u}\Vert^2+2\lambda \sum_j\Vert \xi_j\hat{u}\Vert^2+\sum_{i,\,j}\Vert \xi_i\xi_j\hat{u}\Vert^2.$
Parseval の等式より結論が従う．//

ベクトル解析による証明
$\Vert f\Vert^2=\lambda^2\Vert u\Vert^2-2\lambda \int u\,\Delta u+\int (\Delta u)^2,$

$\int u\,\Delta u =\sum_j\left(\int \partial_j(u\,\partial_ju)- \int (\partial_ju)^2\right) =-\sum_j\int (\partial_ju)^2,$

$\int (\Delta u)^2=\sum_j \int \partial_j( (\partial_ju)\,\Delta u)-\sum_j\int (\partial_ju)\Delta \partial_ju =\sum_{i,\,j}\int (\partial_i\partial_ju)^2$
より．//

補題より， $\lambda >0$ の場合， $\Vert f\Vert$ の定数倍で $u$ の $L^2_2$ ノルムが抑えられる．

$\lambda<0$ の場合， $\mu >0$ を取って，
$(-\Delta+\mu)u=(\mu-\lambda)u+f.$
に補題を適用すると，

$\mu^2\Vert u\Vert^2+2\mu \sum_j\Vert \partial_ju\Vert^2+\sum_{i,\,j}\Vert \partial_i\partial_ju\Vert^2=\Vert (\mu-\lambda)u+f\Vert^2\\ \le ((\mu-\lambda)\Vert u\Vert+\Vert f\Vert)^2.$

よって， $\Vert u\Vert+ \Vert f\Vert$ の定数倍で $u$ の $L^2_2$ ノルムが抑えられる．