コンパクト性と基本近傍系 - yoshitake-hのブログ

以下，位相空間 $X$ は第一可算，すなわち各点 $x$ が基本近傍系
$\{N_n(x)\}_{n\in \mathbb{N}},\;N_n(x)\supset N_{n+1}(x)$
をもつとする．

定理1
コンパクト第一可算空間は点列コンパクト．

証明
第一可算空間 $X$ 上の点列を $\{x_n\}$ とする．
コンパクト性より，点 $a\in X$ が存在して，任意の $m$ に対し，
$N_m (a)$ は無限項の $x_n$ を含む．
よって部分列で
$x_{n(m)} \in N_m(a)$
となるものがあるが，これは $a$ に収束する． q.e.d.

定義1 自然数 $n$ が $X$ の開被覆 $\{U_\lambda\}$ の Lebesgue 数 であるとは，
任意の $x\in X$ に対し， $\lambda$ が存在して， $N_n(x)\subset U_\lambda$ となること．

定義2 $X$ が 全有界 であるとは，
任意の自然数 $n$ に対し， $x_1,\,\dots,\,x_k$ が存在して
$X=\bigcup_{i=1}^kN_n(x_i)$
となること．

定理2
$X$ が全有界で，任意の開被覆が Lebesgue 数をもつならば， $X$ はコンパクトである．

証明
定義より明らか．q.e.d.

以下，次の条件を仮定する．距離空間はこれをみたす基本近傍系をもつ．

任意の $x\in X$ と自然数 $m$ に対し，自然数 $k>m$ が存在して，
任意の $y\in N_k(x)$ に対し $N_k(y)\subset N_m(x).$

定理3
$X$ が点列コンパクトならば，任意の開被覆が Lebesgue 数をもつ．

証明
$X$ の開被覆 $\{U_\lambda\}$ と点列 $\{ x_n\}$ に対し，各 $N_n(x_n)$ がどの $U_\lambda$ にも含まれないとする．
$\{x_n\}$ の部分列が $y\in U_\mu$ に収束するならば，自然数 $m$ が存在して， $N_m(y)\subset U_\mu.$
仮定より，自然数 $k>m$ が存在して，
任意の $x\in N_k(y)$ に対し $N_k(x)\subset N_m(y).$
よって自然数 $n$ を $n\ge k,\;x_n\in N_k(y)$ となるように取ると，
$N_n(x_n)\subset N_k(x_n)\subset N_m(y)\subset U_\mu.$ 矛盾．q.e.d.

定理4
$X$ が点列コンパクトならば $X$ は全有界である．

証明
自然数 $m$ と点列 $\{x_n\}$ が $x_j\not\in N_m(x_i)\;(i<j)$ をみたすとする．
$\{x_n\}$ の部分列が $x$ に収束するとする．
自然数 $k> m$ が存在して，
任意の $y\in N_k(x)$ に対し， $N_m(y)$ である．
$N_k(x)$ に含まれる $\{x_n\}$ の項は無限にある．
$x_i,\,x_j\in N_k(x),\;i<j$ とすると，
$x_j\in N_k(x_i)\subset N_m(x_i).$ 矛盾 q.e.d.