世界を読み解くリテラシーゼミナール

ヒルベルト『幾何学基礎論』を読む．

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20131120

結合の公理
(I.1) 相異なる2点 A, B に対し，A, B を含む直線が存在する．
(I.2) 相異なる2点 A, B に対し，A, B を含む直線はたかだか一つである．
(I.3a) 直線は2点を含む．
(I.3b) 1直線に含まれない3点が存在する．
(I.4a) 1直線に含まれない3点 A, B, C に対し，A, B, C と結合する平面が存在する．
(I.4b) 平面上に点が存在する．
(I.5) 1直線に含まれない3点 A, B, C に対し，A, B, C を含む平面はたかだか一つである．
(I.6) 平面 π に含まれる相異なる2点 A, B を含む直線に含まれる点は，平面 π に含まれる．
(I.7) 平面 π , π' に含まれる点が存在するとき， π , π' に含まれる点がもう一つ存在する．
(I.8) 1平面に含まれない4点が存在する．

定理 平面上に1直線上にない3点が存在する．

証明
平面 α に対し，(I.4b) より，α 上の点 A が存在する．
(I.7) より，α 上の A 以外の点 B が存在する．
(I.8) より，α 上にない点 C が存在する．
(I.6) より，A, B, C は1直線上にない．
(I.4a) より，A, B, C を含む平面 β が存在する．
(I.8) より，β 上にない点 D が存在する．
(I.6) より，A, C, D は1直線上にない．
(I.4a) より，A, C, D を含む平面 γ が存在する．
D との結合の違いにより，γ と β は異なる．
よって (I.5) より，γ は B を含まない．
よって (I.6) より，γ と直線 AB の共有する点は A のみである．
(I.7) より，α と γ に含まれる A 以外の点 E が存在する．
E は直線 AB 上にない．q.e.d.