yoshitake-hのブログ

井戸型ポテンシャルに対する束縛状態

phys

1次元 Schrödinger 方程式
$(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x) )\psi=E\psi$
を考える．

井戸型ポテンシャル
$V(x)=0\;(|x|>a),\quad V(x)=V_0\; (|x|<a)$
に対し， $\psi(x)$ が解ならば $\psi(-x)$ も解．

束縛状態
- 解を
  $\psi(x)=\left\{ \begin{array}{ll} A\cos kx+B\sin kx & |x|\le a \\ Ce^{-\kappa x} & x \ge a \\ De^{\kappa x} & x\le -a\end{array} \right.$
  とすると $(k>0,\;\kappa>0)$ ，
  $\hbar k=\sqrt{2m(E-V_0)},\quad \hbar\kappa =\sqrt{-2mE},\quad k^2+\kappa^2=-\frac{2m}{\hbar^2}V_0.$
- 0 でない C¹ 級の解が存在するとき，
  $\det \begin{pmatrix} \cos ka & \sin ka & e^{-\kappa a} & 0 \\ -k\sin ka & k\cos ka & -\kappa e^{-\kappa a} & 0 \\ \cos (-ka) & \sin (-ka) & 0 & e^{-\kappa a} \\ -k\sin (-ka) & k\cos (-ka) & 0 & \kappa e^{-\kappa a}\end{pmatrix}=0.$
- このとき解は1次元．
- よって解は偶関数か奇関数．
- 解が偶関数のとき $k\tan ka =\kappa$ ，奇関数のとき $k\cot ka =\kappa$ ．
- $k>0,\; \kappa>0$ において $k\tan ka =\kappa\; ( k\cot ka =\kappa )$ と
  $k^2+\kappa^2=-\frac{2m}{\hbar^2}V_0$
  の交点は有限個．
- したがって $E<0$ は有限個の値 $E_0<E_1<\cdots<E_n$ のみをとりうる．
- その個数は $V_0\to -\infty$ のとき ∞ に発散する．
- 零点振動のエネルギーは $E_0-V_0>0.$