E = mc2 - yoshitake-hのブログ

Newton 力学では，速度 $u$ の粒子から見た速度 $v$ の粒子の相対速度 $w$ は， $w=v-u$ だった．

静止している質量 $m$ の粒子が，質量 $m_A$ ，速度 $v_A$ の粒子 A と質量 $m_B$ >，速度 $v_B$ の粒子 B に分かれたとする．

速度 $u$ の慣性系から見た運動量保存則
$m_A(v_A-u)+m_B(v_B-u)=-mu$
が，任意の $u$ に対してなりたつとすると，運動量保存則と質量保存則
$m_Av_A+m_Bv_B=0,\quad m_A+m_B=m$
がなりたつ．

相対論では，光速を $c$ とすると，速度 $u$ の慣性系から見た速度 $v$ の粒子の相対速度 $w$ は，
$w= \frac{v-u}{\displaystyle 1-\frac{uv}{c^2} }$
のように修正される．

これに応じて，運動量の定義，質量保存則も修正を受ける．

速度 $v$ の粒子の固有時 $\tau$ に対し，
$d\tau^2= dt-\frac{v^2}{c^2}dx^2 =(1-\frac{v^2}{c^2} )dt^2.$

そこで 相対論的運動量 を
$p=m\frac{dx}{d\tau}= mv(1-\frac{v^2}{c^2} )^{-1/2}$
で定義する．

このとき
$E=mc^2(1-\frac{v^2}{c^2} )^{-1/2}$
とおくと，
$\frac{dp}{dt}\, v=\frac{dE}{dt}.$

左辺を時間で積分すると仕事になる．そこで $E$ でエネルギーを定義する．

速度 $u$ の慣性系から見た運動量は，
$mw(1-\frac{w^2}{c^2})^{-1/2} = m(v-u)(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1/2}(1-\frac{u^2}{c^2})^{-1/2} .$

静止している質量 $m$ の粒子が，質量 $m_A$ ，速度 $v_A$ の粒子 A と質量 $m_B$ >，速度 $v_B$ の粒子 B に分かれたとする．

速度 $u$ の慣性系から見た運動量保存則
$m_A(v_A-u)(1-\frac{v_A^2}{c^2})^{-1/2}(1-\frac{u^2}{c^2})^{-1/2}+m_B(v_B-u)(1-\frac{v_B^2}{c^2})^{-1/2}(1-\frac{u^2}{c^2})^{-1/2} \\ = -mu(1-\frac{u^2}{c^2})^{-1/2}$
が，任意の $u$ に対してなりたつとすると，運動量保存則とエネルギー保存則
$m_Av_A(1-\frac{v_A^2}{c^2} )^{-1/2}+m_Bv_B(1-\frac{v_B^2}{c^2} )^{-1/2}=0,$

$m_Ac^2(1-\frac{v_A^2}{c^2} )^{-1/2}+m_Bc^2(1-\frac{v_B^2}{c^2} )^{-1/2}=mc^2$
がなりたつ．