圏のnerve - yoshitake-hのブログ

[n] = { 0, 1, ... , n } ( n = 0, 1, 2, ... ) を対象とし，順序を保つ写像を射とする小圏を Δ とする．
Δ 上の前層すなわち集合の圏 Sets への反変関手を 単体集合 という．単体写像とは単体集合の間の自然変換のこと．
小圏 C に対し次のようにして単体集合を定義する．
- 順序集合は圏と見なすことができる．このとき　順序を保つ写像＝関手　である．
- NC[n] を [n] から C への関手全体の集合とする．Δ の射 [n]→[m] が関手の合成により写像 NC[m] → NC[n] を誘導する．
- こうして得られた単体集合 NC = { NC[n] } を C の nerve という．
- 関手＝ nerve の間の単体写像．
圏 [n] の nerve を Δⁿ と書き， n 単体 とよぶ．別の見方をすると， n 単体は Δ 上の表現可能関手である．

Δ の射は，面写像 dⁿ_i : [n-1]→[n] ( i∈[n] ) と退化写像 sⁿ_i : [n+1]→[n] ( i∈[n] ) で生成される．
- 面写像 dⁿ_i は単射 [n-1]→[n] であって i の逆像が1点でないもの．退化写像 sⁿ_i は全射 [n+1]→[n] であって i の逆像が1点でないもの，という特徴づけができる．
面写像の組 ( dⁿ_i , d^n-1_j ) は (n+1)n 個，単射 [n-2]→[n] は (n+1)n/2 個なので，合成 dⁿ_i d^n-1_j の間に関係式がある．すなわち，
dⁿ_i d^n-1_j = dⁿ_j d^n-1_i-1 ( i > j )．　（ i の逆像， j の逆像が1点でない．）
退化写像の組 ( sⁿ_i , sⁿ⁺¹_j ) は (n+1)(n+2) 個，全射 [n+2]→[n] は (n+1)(n+2)/2 個なので，合成 sⁿ_i sⁿ⁺¹_j の間に関係式がある．すなわち，
sⁿ_i sⁿ⁺¹_j = sⁿ_j sⁿ⁺¹_i+1 ( i ≥ j )．（ i の逆像， j の逆像が1点でない．）
sⁿ_i dⁿ⁺¹_j = dⁿ_j-1 s^n-1_i ( i < j-1 ), id_[n] ( i = j-1 , j ), dⁿ_j s^n-1_i-1 ( i > j ).

単体集合 Λⁿ_i ( i∈[n] ) を，
$\Lambda^n_i([k]) = \bigcup_{j\in [n],\;j\ne i } \mathrm{Im}[ d^n_j: \Delta^{n-1}([k])\to \Delta^n([k]) ]\subset \Delta^n([k])$
によって定義する．これを n 次元単体の i 番目の角（つの）とよぶ．
単体集合 $S$ が小圏の nerve であるために必要十分条件は，任意の $0<i<n$ に対し， $S(\Delta^n)\to S(\Lambda^n_i)$ が全単射であること．
さらに亜群の nerve であるための必要十分条件は，上の条件に加えて $S(\Delta^2)\to S(\Lambda^2_i)\; (i=0,\,2)$ が全射であること．

単体集合 $S$ が ∞ 圏 であるとは，任意の $0<i<n$ に対し， $S(\Delta^n)\to S(\Lambda^n_i)$ が全射であること．
単体集合 $S$ が ∞ 亜群 あるいは Kan 複体 であるとは，任意の $0\le i\le n$ に対し， $S(\Delta^n)\to S(\Lambda^n_i)$ が全射であること．