Weston による Zorn の補題の短い証明．

math

http://www.springerlink.com/content/h757506v44002719/

Zorn の補題　任意の鎖（全順序部分集合）が上界をもつような順序集合は極大元をもつ．

  • Zornの補題は，真の上界をもたない鎖の存在から従う．そのような鎖の上界は極大元になるからである．
  • 順序集合 P の部分集合 C に対し，C の真の上界全体を C^ と書く．
  • 選択公理より，P の空でない部分集合にその元を対応させる写像 f が存在する．
  • P の鎖 K が　f 鎖 であるとは，K の任意の部分集合 C で， C^ ∩ K が空でないものに対し， f (C^) が C^ ∩ K の最小元であることと定義する．
  • すべての f 鎖の和集合 L が鎖であって真の上界をもたないことを示す．
  • Claim： f 鎖 K , K' に対し，K' - K ⊂ K^.
  • Claimの証明：
    • K' - K の任意の元 a' に対し，
      C = { x ∈ K' | x < a' } ∩ K
      とおくと，
      C = { x ∈ K' | x ≤ a' } ∩ K .
      a' ∈ C^ ∩ K' より f (C^) ∈ { x ∈ K' | x ≤ a' }.
      よって f (C^) は K に属さない．
    • したがって C^ ∩ K は空．よって K の任意の元 x に対し，C の中に x の上界が存在する．
      a' は C の真の上界なので， x < a' をみたす．//
  • Claim より L は鎖．
  • L の部分集合 C に対し a ∈ C^ ∩ L とする．
    • a はある f 鎖 K の元．
    • 任意の x ∈ C に対し，x は K^ に属さないので，Claim より，x ∈ K．よって C ⊂ K．
    • よって f (C^) ∈ K ⊂ L かつ f (C^) ≤ a ．したがって L は f 鎖．
  • L に真の上界があれば L に f (L^) を付け加えたものも f 鎖になって L の定義に矛盾．□
  • アイデアは， f 鎖という概念を定義することと， Claim の証明における C の取り方．

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20111210