計算化学 - yoshitake-hのブログ

電子のスピン．Stern-Gerlach の実験．

空間ベクトル $\mathbf{e}_1,\, \mathbf{e}_2,\, \mathbf{e}_3,\; (\mathbf{e}_i,\,\mathbf{e}_j)=\delta_{ij}$ をとる．
平面ベクトル $\mathbf{e}_+,\,\mathbf{e}_-$ はそれぞれ磁気モーメントの向きが
$\pi (\mathbf{e}_+)=\mathbf{e}_3,\,\pi (\mathbf{e}_-)=-\mathbf{e}_3$
である状態とする．
状態
$s=(\cos \frac{\varphi}2)\mathbf{e}_++(\sin \frac{\varphi}2)\mathbf{e}_-,\; 0\le \varphi <4\pi$
の電子の磁気モーメントの向きは
$\pi(s)=(\cos \varphi)\mathbf{e}_3+(\sin \varphi )\mathbf{e}_1$
であるとする．
倍角公式より，
$s=x_+\mathbf{e}_++x_-\mathbf{e}_-\; (x_+,\,x_-\in \mathbb{R},\,{x_+}^2+{x_-}^2=1)$
に対し，
$\pi (s)=({x_+}^2-{x_-}^2)\mathbf{e}_3+2x_+x_-\mathbf{e}_1.$

状態
$s= \frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{e}_++\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{e}_-$
の電子の磁気モーメントの向きは $\pi (s)=\mathbf{e}_1.$
これを $\mathbf{e}_2$ 方向に回すために，複素数を導入する．
状態
$s= \frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{i\theta/2} \mathbf{e}_++\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-i\theta/2}\mathbf{e}_-,\; 0\le \theta <4\pi$
の電子の磁気モーメントの向きは
$\pi(s)=(\cos \theta)\mathbf{e}_1+(\sin \theta )\mathbf{e}_2$
であるとする．