線形代数学１ - yoshitake-hのブログ

n 次行列式を第1列に関する展開によって n-1 次行列式を用いて定義したとき，各列に関する線形性，列に関する交代性，単位行列の行列式が 1 であること，を証明した．第 1，j 列に関する交代性以外は自明．j > 2 の場合は j = 2 の場合に帰着できる．そして，

$\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} a_{i1} \det A(i;\,1)$
$= \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} a_{i1} \left\{ \sum_{j=1}^{i-1} (-1)^{j-1} a_{j2} \det A(j,\,i;\,1,\,2) + \sum_{j=i+1}^n (-1)^{j-2} a_{j2} \det A(i,\,j;\,1,\,2) \right\}$
$= \sum_{i<j} (-1)^{i+j-1} \left| \begin{array}{cc} a_{i1} & a_{i2} \\ a_{j1} & a_{j2} \end{array} \right| \det A(i,\,j;\,1,\,2).$

行列式と置換．置換の符号．