初等解析学II - yoshitake-hのブログ

平面上の１，２次微分形式．

開集合 $U\subset \mathbb{R}^2$ 上の $C^\infty$ 関数全体のなすベクトル空間を $C^\infty (U)$ とする．

積 $C^\infty (U) \times C^\infty (U)\to C^\infty (U)$ が定義される．

座標 $x_1,\,x_2\in C^\infty (U)$ に対し，
$\psi = \psi_1\mathrm{d}x_1+ \psi_2\mathrm{d}x_2 \quad (\psi_i\in C^\infty (U) )$
を1次微分形式（1-form）という．

$U$ 上の 1-form 全体のなすベクトル空間を $\Omega^1(U)$ と書く．

積 $C^\infty (U)\times \Omega^1(U)\to \Omega^1(U)$ が定義される．

$u\in C^\infty (U)$ に対し，
$\mathrm{d}u= \frac{\partial u}{\partial x_1} \mathrm{d}x_1 +\frac{\partial u}{\partial x_2}\mathrm{d}x_2$
により，線形写像 $\mathrm{d}:C^\infty (U)\to \Omega^1(U)$ を定義する．

$u=x_i$ のとき $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x_i.$ 　記号は整合的．

$\Omega^1(U)$ は座標によらない．

$\mathrm{d}(uv) = v\,\mathrm{d}u+u\,\mathrm{d}v.$

$\mathrm{d}:C^\infty(U)\to \Omega^1(U)$ は座標によらない．

$\mathrm{d}x_1,\; \mathrm{d}x_2$ の積を
$\mathrm{d}x_i\wedge \mathrm{d}x_i=0,\quad \mathrm{d}x_2\wedge \mathrm{d}x_1=-\mathrm{d}x_1\wedge \mathrm{d}x_2$
によって定義する．これを外積という．

これを2つの1次微分形式の積に拡張したい．

$f(x_1,\,x_2)\mathrm{d}x_1\wedge \mathrm{d}x_2 \quad (f(x_1,\,x_2)\in C^\infty (U) )$
全体のなすベクトル空間を $\Omega^2(U)$ と書く．

積 $C^\infty (U)\times \Omega^2(U)\to \Omega^2(U)$ が定義される．

外積は $\Omega^1(U)\times \Omega^1(U) \to \Omega^2(U)$ に拡張される．

外積は座標によらない．

$\psi = \psi_1\mathrm{d}x_1+ \psi_2\mathrm{d}x_2 \in \Omega^1(U)$ に対し，
$\mathrm{d}\psi = \mathrm{d}\psi_1\wedge \mathrm{d}x_1+ \mathrm{d}\psi_2\wedge \mathrm{d}x_2$
により線型写像 $\mathrm{d}:\Omega^1(U)\to \Omega^2(U)$ を定義する．

$\mathrm{d}(u\psi) = \mathrm{d}u\wedge \psi+u\,\mathrm{d}\psi.$

$\mathrm{d}(\mathrm{d}u)=0.$

$\mathrm{d}:\Omega^1(U)\to \Omega^2(U)$ は座標によらない．