幾何学１ - yoshitake-hのブログ

直線のアフィン変換と射影変換．射影直線．複比．Plucker 恒等式．

直線 $L=\mathbb{R}$ 上の2点 $P(x),\; Q(y)$ に対し， $PQ=y'-x'$ とおく．

1対1対応 $\varphi :L\to L$ で $a,\,b\in \mathbb{R},\; a\ne 0$ により
$\varphi (x) =ax+b$ と書けるものをアフィン変換という．

アフィン変換であることは，任意の $P,\,Q,\,R\in L$ に対し， $P'=\varphi (P),\; Q'=\varphi (Q),\; R'=\varphi (R)$ とすると，
$P'Q':Q'R'=PQ:QR$ となることに同値．

$a_1,\,b_1,\,a_2,\,b_2\in \mathbb{R},\; a_1b_2-a_2b_1\ne 0$ により，
$\varphi(x)=\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}$
で与えられる1対1対応
$\varphi:L\smallsetminus \{ -\frac{b_2}{a_2} \} \to L\smallsetminus \{ \frac{a_1}{a_2} \}$
を射影変換という．これは，
$\varphi(-\frac{b_2}{a_2})=\infty,\quad \varphi (\infty )=\frac{a_1}{a_2}$
により，1対1対応
$\varphi : L\cup \{ \infty \} \to L\cup \{ \infty \}$ に拡張される．

$\left| \begin{array}{cccc} p_1 & 0 & r_1 & s_1 \\ p_2 & 0 & r_2 & s_2 \\ 0 & q_1 & r_1 & s_1 \\ 0 & q_2 & r_2 & s_2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} p_1 & 0 & r_1 & s_1 \\ p_2 & 0 & r_2 & s_2 \\ 0 & q_1 & 0 & s_1 \\ 0 & q_2 & 0 & s_2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{cccc} p_1 & 0 & 0 & s_1 \\ p_2 & 0 & 0 & s_2 \\ 0 & q_1 & r_1 & s_1 \\ 0 & q_2 & r_2 & s_2 \end{array} \right|$
より Plücker 恒等式が得られる．