yoshitake-hのブログ

Newton から Einstein へ

phys

Newton 力学のポテンシャル $V(\boldsymbol{x})$ のもとでの粒子の運動方程式は，
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} m\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t} = -\partial^jV.$

- 運動方程式の解の族 $\boldsymbol{x}(t,\,u)$ に対し，
  $m{\partial_t}^2 \partial_ux^j = -(\partial^j\partial_kV)\partial_ux^k.$

- 重力場のみたす方程式は，
  $\partial^j\partial_jV= 4\pi G m\rho.$

これを Jacobi 方程式
$D_tD_tJ+ R^{\gamma^*\nabla} (J,\, \partial_t\gamma) \partial_t\gamma =0$
と比較すると，エネルギー運動量テンソル $T_{\mu\nu}$ を源とする重力場の相対論的運動方程式は
$R_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$
のような形であると予想されるが，このままだと次の２つが両立しない．

- エネルギー運動量保存則 $\nabla_\mu {T^\mu}_\nu =0.$

- Bianchi 恒等式より，
  $\nabla_\mu {R^\mu}_\nu = \frac{1}{2}\partial_\nu R.$

そこで修正して，Einstein 方程式
$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$
を考える．

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20111028
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20111030