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単体集合

math

$\Delta^n = \{0,\,1,\,\dots,\,n\},\; (n\ge 0)$ を対象とし，順序を保つ写像を射とする小圏 $\Delta$ 上の前層 $S = \{S_n = S(\Delta^n)\}_{n\ge 0}$ を 単体集合 という．

$\Delta$ の射は単射（面写像） $d_i^n:\Delta^{n-1} \to \Delta^n\; (0\le i\le n)$ と全射（退化写像） $s_i^n : \Delta^{n+1} \to \Delta^n\; (0\le i\le n)$ によって生成される．

小圏 $C$ に対し， $\Delta^0$ に対象全体の集合を， $\Delta^1$ に射全体の集合を， $\Delta^n$ に $n$ 個の合成可能な射の列 $x_0\to \cdots \to x_n$ 全体の集合を対応させ，面写像 $d_i^n\; (0<i<n)$ に $x_i$ における射の合成を， $d_0^n,\, d_n^n$ に $x_0\to x_1,\; x_{n-1}\to x_n$ の削除を，退化写像に恒等射の挿入を対応させることによって，単体集合 $N(C)$ が定義される．これを $C$ の脈体という．

圏が亜群であることは，その脈体が Kan 複体であることに同値．