yoshitake-hのブログ

Fibered category

math

集合 $I$ 上の集合族 $\mathcal{A} =\{A_i\}_{i\in I}$ の，写像 $u:J\to I$ による ひきもどし とは， $J$ 上の集合族 $u^{-1}\mathcal{A} =\{A_{u(j)}\}_{j\in J}$ のこと．

これは，集合族の圏 $\mathcal{E} =\mathrm{Fam}(\mathbf{Set})$ 上の関手 $\pi :\mathcal{E}\to \mathbf{Set},\; \{ X_i\}_{i\in I}\mapsto I$ に関して， $J$ 上の集合族の圏 $\mathcal{E}_J$ 上の前層 $\mathcal{E}(-,\,\mathcal{A}) \cap \pi^{-1} (u)$ を表現する $\mathcal{E}_J$ の対象である．

写像 $K\underset{v}\to J\underset{u}\to I$ と集合族 $I$ 上の集合族 $\mathcal{A} =\{A_i\}_{i\in I}$ に対し，自然な同型 $v^*u^*\mathcal{A}\to (uv)^*\mathcal{A}$ がある．

関手 $\pi :\mathcal{E} \to \mathcal{B}$ の $b\in \mathrm{Ob} (\mathcal{B} )$ 上の ファイバー $\mathcal{E}_b$ とは， $\mathcal{E}_b =\pi^{-1}(b,\{ 1_b\})$ によって定義される $\mathcal{E}$ の部分圏のこと．

が fibered category であるとは，
- $\mathcal{B}$ の任意の射 $u:b'\to b$ と任意の $E \in \mathrm{Ob}(\mathcal{E}_b)$ に対し， $\mathcal{E}_{b'}$ 上の前層 $\mathcal{E}(-,\, E) \cap \pi^{-1} (u)$ がある $u^*E\in \mathrm{Ob} (\mathcal{E}_{b'})$ によって表現可能であって，
- 任意の射 $b''\underset{v}\to b'\underset{u}\to b$ と $E\in \mathrm{Ob}( \mathcal{E}_b)$ に対し，自然な射 $v^*u^*E\to (uv)^*E$ が同型であること．

（oto_oto_oto さんからご指摘いただいて修正）

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20100601