yoshitake-hのブログ

有界閉区間上の連続関数

math

定理　有界閉区間上の連続関数は最大値および最小値をもつ．

$I=[a,\,b]$ 上の連続関数 $f:I\to \mathbb{R}$ に対し， $A,\,B\subset I$ の関係 $R(A,\,B)$ を，
$\forall x\in B,\; \exists x'\in A;\; f(x')\ge f(x)$
で定義すると，次が成り立つ．
$R(A,\,A).$
$R(A,\,B),\,R(B,\,C)\; \Rightarrow \; R(A,\,C).$
$R(A,\,A\cup B)$ または $R(B,\,A\cup B).$

$J=[p,\,q]$ に対し，
$J^-=[p,\,\frac{p+q}2],\quad J^+=[\frac{p+q}2,\,q]$
と書くことにすると，

$I_0=I,\; I_n=I_{n-1}^-\;\mbox{or}\; I_{n-1}^+,\; R(I_n,\,I)$ となるように順に $I_n$ がとれる．

したがって区間縮小法より，
$\bigcap_{n\ge 0}I_n=\{x_0\}.$

このとき， $f$ は $x_0$ で最大値をとる．
なぜなら， $x_1\in I,\; f(x_1)>f(x_0)$ とすると， $f$ の連続性より， $n$ が存在して $\forall x\in I_n;\; f(x)<f(x_1).$
これは $R(I_n,\,I)$ に矛盾．

最小値についても同様．//