ピタゴラスの定理の証明

多角形は三角形に分割でき，三角形は２つの直角三角形に分割できる．その意味で，直角三角形はもっとも基本的な平面図形である．
直角三角形も２つの直角三角形に分割できるが，これらはもとの直角三角形と相似なので，より基本的な図形に分割する，という意味ではここで行き止まりである．
しかし，３つの直角三角形の面積の比が斜辺の２乗の比に等しいことから，ピタゴラスの定理が得られる．

正方形 OABC, OA'B'C' は，直線 OA = 直線 OC' に関して同じ側，直線 OC = 直線 OA' に関して反対側にあるとする．２つの正方形を平行移動で動かして平面をぴったり埋めつくす．このとき，AA' を１辺とする正方形を同じ平行移動で動かして平面をぴったり埋めつくすことができる．

を が直角である三角形とする．その外側に，正方形 を描く．四角形 を のまわりに９０度回転させた四角形 に対し，四角形 はこれらと合同．よって．

一方，