yoshitake-hのブログ

完全対

math

完全列
$A\underset{i}{\to} A\underset{j}{\to} B\underset{k}{\to} A\underset{i}{\to}A$
を 完全対 といい， $\mathcal{E}=(A,\,B;\,i,\,j,\,k)$ であらわす．

$A'=iA=\mathrm{Ker}\,j,\;A_1=kB=\mathrm{Ker}\,i,\;B_1=jA=\mathrm{Ker}\,k$
とおく．

$A',\,A_1\subset A$ に対する自然な完全列
$0\to A'\cap A_1\to A'\to \frac{A}{A_1} \to \frac{A}{A'+A_1} \to 0$
の各項を， $i,\,j,\,k$ の誘導する同型
$[i]: \frac{A}{A_1} \overset{\sim}\to A',\quad [j]: \frac{A}{A'+A_1}\overset{\sim}\to \frac{B_1}{jA_1},\quad [k]: \frac{k^{-1}A'}{B_1} \overset{\sim}\to A'\cap A_1$
によっておきかえると，完全列
$0\to \frac{k^{-1}A'}{B_1}\to A'\to A'\to \frac{B_1}{jA_1} \to 0$
が得られる．

$B'= \frac{k^{-1}A'}{jA_1}$ とおくと，完全対 $\mathcal{E}'=(A',\,B';\,i',\,j',\,k')$ が得られる．

$d=jk:B\to B$ とおくと， $dd=0,\;B'= \frac{\mathrm{Ker}\,d}{\mathrm{Im}\,d}.$

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20060520
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20060902
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20100427