Quantum dilogarithm - yoshitake-hのブログ

$xy=q^2yx$ で， $q$ は $x,\,y$ と可換とする．
$\Psi(z)=(1+qz)(1+q^3z)(1+q^5z)\cdots$ とおくと，
$\Psi(x+y)=\Psi(x)\Psi(y).$

証明
集合 $X$ の有限部分集合全体の集合を $p(X)$ とし，
$p_2(X)=\{(B,\,A)\in p(X)\times p(X)\mid A\cap B=\varnothing\}$ とする．
$I=\{1,\,3,\,5,\,\dots\}$ とおくと，
$\Psi(z)$ を展開した各項（同類項はまとめない）は $p(I)$ と自然に1対1に対応する． $q^{i(1)}z \cdots q^{i(n)}z\mapsto \{i(1),\,\dots,\,i(n)\}$
さらに， $\Psi(x+y)$ の各項は $p_2(I)$ と自然に1対1に対応し， $q^ix\leftrightarrow i\in B,\;q^jy\leftrightarrow j\in A$
$\Psi(x)\Psi(y)$ の各項は $p(I)\times p(I)$ と自然に1対1に対応している．
$A\in p(I)$ に対し，順序を保つ全単射 $f_A:I\smallsetminus A\to I$ は，
$f_A(b)=b-2\sharp\{a\in A\mid b>a\}$ (*) と書ける．
これが誘導する全単射 $(f_A)_*:p(I\smallsetminus A)\to p(I)$ によって，
全単射 $p_2(I)\to p(I)\times p(I),\; (B,\,A)\mapsto ((f_A)_*B,\,A)$ がえられる．
(*) より，これによって対応する $\Psi(x+y),\,\Psi(x)\Psi(y)$ の各項の $q$ の次数は等しい．//