トレミーの定理 - yoshitake-hのブログ

円に内接する四角形 ABCD に対し，AC・BD = AB・CD + AD・BC．
この定理には「相対論版」がある．
すなわち，３次元ミンコフスキー空間の（未来）光円錐上の４点に対し，同じ等式が成立する．
光円錐上の点を $(u^2-v^2,\,2uv,\,u^2+v^2)$ のようにパラメトライズすると，
$( (u_1^2-v_1^2)-(u_2^2-v_2^2) )^2+(2u_1v_1-2u_2v_2)^2-( (u_1^2+v_1^2)-(u_2^2+v_2^2) )^2$
$= 4(u_1v_2-v_1u_2)^2$
なので，相対論的トレミーの定理はプリュッカー関係式
$\left|\begin{array}{cc}u_A & u_B \\ v_A & v_B\end{array}\right| \left|\begin{array}{cc}u_C & u_D\\ v_C & v_D\end{array}\right| - \left|\begin{array}{cc}u_A & u_C \\ v_A & v_C\end{array}\right| \left|\begin{array}{cc}u_B & u_D \\ v_B & v_D\end{array}\right| \\+ \left|\begin{array}{cc}u_A & u_D \\ v_A & v_D\end{array}\right| \left|\begin{array}{cc}u_B & u_C \\ v_B & v_C\end{array}\right|=0$
からしたがう．

AC → BD はクラスター変換と解釈できる．