Cayley-Hamilton の定理 - yoshitake-hのブログ

定理 $n$ 次正方行列 $A$ に対し，

tE-A =t^n+b_{n-1}t^{n-1}+\cdots+b_0">
とおくと，

$A^n+b_{n-1}A^{n-1}+\cdots+b_0E=O.$

証明　
$tE-A$ の余因子行列を $B(t)$ とすると，
$(tE-A)B(t) = (t^n+b_{n-1}t^{n-1}+\cdots+b_0)E.$
両辺に $t^nE+t^{n-1}A+\cdots+A^n$ を左からかけると，
$(t^{n+1}E-A^{n+1})B(t) = (t^n+b_{n-1}t^{n-1}+\cdots+b_0)(t^nE+t^{n-1}A+\cdots+A^n).$
$t^n$ の係数を比較すると， $B(t)$ は $t$ について $n-1$ 次以下なので，
$A^n+b_{n-1}A^{n-1}+\cdots+b_0E=O.\quad\square$
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20091204