線形代数学２

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m×n 行列 A に対し，連立１次方程式 Ax = 0 の解空間 W の基底と次元，および A の列ベクトルの生成する Rm の部分空間 V の基底と次元を求める方法と，dim W = n − rank A, dim V = rank A の証明．
行列の列ベクトルで，自分より左にある列ベクトルの1次結合で書けないものを，主要な列 と名づけてみた．

  • 各行の 0 でない成分のうち，一番左にあるものを 主成分 とよぶ．
  • 次の条件をみたす行列を，簡約な行列（階段行列）という．
    • 第 j 列まで 0 である行より下にある行は，少なくとも第 j 列まで 0．
    • 各行の主成分は 1 で，その列の他の成分は 0．
  • 第 i 行以下が 0 ベクトルでない列ベクトルは，
    第 i 行以下のいれかえ，第 i 行のスカラー倍，第 i 行のスカラー倍を他の行に加える，
    という行基本変形によって， ei にできる．
    これらの行基本変形は，第 i 行以下が 0 ベクトルである列ベクトルを変えない．
  • 任意の行列は，行基本変形によって簡約にできる．これを簡約化という．
  • 簡約な行列に対し，各行の主成分をふくむ列は，自分より左にある列ベクトルの1次結合で書けない．それ以外の列は書ける．
  • 行列の列ベクトルで，自分より左にある列ベクトルの1次結合で書けないものを，主要な列 と名づける．
  • 第何列が主要な列になるかは行基本変形で不変．
  • 行列の 階数 とは，主要な列の個数のことと定義する．
  • 簡約な行列の階数は，0 ベクトルでない行の個数に等しい．
  • 簡約な行列であることは，主要な列が左から順に e1, ..., er であることに同値．
  • 主要な列は1次独立．
  • 簡約な行列の主要でない列の各成分は，その列を主要な列の1次結合で書いたときの係数．
  • 任意の行列に対し，簡約化は一意的．