前層の圏

math

小圏 \mathcal{C} 上の前層の圏 \mathcal{E} は，elementary topos になる．
subobject classifier t:1\to \Omega は以下のように定める．

  • x\in \mathcal{C} に対し，F\in \mathcal{E} であって，F(y)\subset \mathcal{C}(y,\,x)\;(y\in \mathcal{C}) をみたし，この包含関係が自然変換 F\to \mathcal{C}(-,x) をあたえるものを，x 上の crible という．
  • \Omega(x) は x 上の crible 全体の集合とする．
  • f\in \mathcal{C}(y,\,x) に対し，\Omega f:\Omega(x)\to \Omega(y) は，
    \Omega f(F)(z)=\{g\in \mathcal{C}(z,\,y)\mid fg\in F(z)\}\;(F\in \Omega(x),\,z\in \mathcal{C})
    で与える．
  • Lemma　F\in \Omega(x) に対し，F(y)=\{f\in \mathcal{C}(y,\,x)\mid \Omega f(F)=\mathcal{C}(-,\,y)\}.

    証明
    (1) f\in F(y) ならば，任意の z\in \mathcal{C},\;g\in \mathcal{C}(z,\,y) に対し，fg\in F(z) となるので，
    \Omega f(F)=\mathcal{C}(-,\,y).
    (2) f\not\in F(y) ならば，\Omega f(F)(y)\not\ni \mathrm{id}_y なので，
    \Omega f(F)\neq \mathcal{C}(-,\,y).//
  • t:1\to \Omega は，x\in \mathcal{C} において，1点集合 1(x) の元に \mathcal{C}(-,\,x) を対応させる．
  • \mathcal{E} における mono i:G'\to G に対し，射 \varphi:G\to \Omega を
    \varphi_x(u)(y)=\{f\in \mathcal{C}(y,\,x)\mid Gf(u)\in G'(y)\}\;(u\in G(x))
    で定めると，i は \varphi による t の pullback．
  • \varphi の一意性は Lemma より．