Alan D. Sokal, A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem

http://jp.arxiv.org/abs/1005.1585
ソーカル事件で有名な人．Carothers の本の証明よりさらに簡単になっている．

一様有界性定理
Banach 空間 $X$ からノルム空間 $Y$ への有界線型作用素の族を $\mathcal{F}$ とする．
任意の $x\in X$ に対し $\{\Vert Tx\Vert \; ;\; T\in \mathcal{F}\}$ が有界ならば，
$\{\Vert T\Vert \; ;\; T\in \mathcal{F}\}$ は有界．

証明
$\{\Vert T\Vert \; ;\; T\in \mathcal{F}\}$ が有界でないとすると，作用素の列
$T_n\in \mathcal{F},\quad \Vert T_n\Vert \geq 4^n,\quad n=1,\,2,\,\dots$
が取れる．これに対し，点列
$\xi_n\in X,\quad \Vert T_n\xi_n\Vert \ge \frac{2}{3}\Vert T_n\Vert \cdot \Vert \xi_n\Vert ,\quad \Vert \xi_n\Vert = 3^{-n}$
が取れる．（選択公理を使った．）
このとき，
$\Vert T_n\Vert \cdot \Vert\xi_n\Vert \to \infty\quad (n\to\infty).$

また， $x_n=\xi_1+\cdots +\xi_n$ は Cauchy 列．極限を $x^*$ とすると，
$\Vert x^*-x_n\Vert \le 3^{-n-1}(1-\frac{1}{3})^{-1} = \frac{1}2 3^{-n}=\frac{1}2 \Vert \xi_n\Vert.$

Key point
$\max\{ \Vert a+b\Vert ,\,\Vert a-b\Vert \}\ge \frac{1}{2}(\Vert a+b\Vert +\Vert a-b\Vert )\ge \Vert b\Vert$
なので，必要があれば $\xi_n$ を $-\xi_n$ に取りかえることにより，
$\Vert T_nx_n\Vert \ge \Vert T_n\xi_n\Vert$
とすることができる．

したがって，
$\Vert T_nx^*\Vert \ge \Vert T_nx_n\Vert - \Vert T_n(x^*-x_n)\Vert \\ \ge \Vert T_n\xi_n\Vert -\Vert T_n\Vert \cdot \Vert x^*-x_n\Vert \\ \ge \frac{2}{3}\Vert T_n\Vert \cdot \Vert \xi_n\Vert -\frac{1}2 \Vert T_n\Vert \cdot \Vert\xi_n\Vert \\ =( \frac{2}{3}-\frac{1}{2}) \Vert T_n\Vert \cdot \Vert \xi_n\Vert \to \infty.$
これは仮定に反する．//
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20070623