線形代数学１

逆行列．

１．正方行列 A が行 基本変形によって単位行列 E に変形できると仮定する．
[A E] が [E P] に変形されるとき，AX = E と EX = P が同値なので，AP = E．
一方，同じ仮定の下，「Ax = 0 ならば x = Ex = 0」がいえるので，A(PA) = (AP)A = EA = A = AE より PA = E．
したがって，A の逆行列が存在する．

２．A が行 基本変形によって E に変形できないと仮定する．
A に行 基本変形をほどこして，左から順に E と同じにしていく．
第 j 列ではじめて E と同じにできなくなったとすると，そのときの第 j 列の第 j 行以下は 0．
よって A の第 j 列はそれより左の列ベクトルの1次結合で書ける．
したがって， A の逆行列は存在しない．