随伴関手 - yoshitake-hのブログ

関手 $u:C\to D,\;v:D\to C$ に対し，関手
$\mathrm{Hom}_D(u(-),\,-),\;\mathrm{Hom}_C(-,\,v(-)):C^\circ\times D\to \mathrm{Set}$
の間の自然変換
$\{\phi_{x,\,y}: \mathrm{Hom}_D(u(x),\,y)\to\mathrm{Hom}_C(x,\,v(y))\}_{x\in C,\,y\in D},$
$\{\psi_{x,\,y}: \mathrm{Hom}_C(x,\,v(y))\to \mathrm{Hom}_D(u(x),\,y)\}_{x\in C,\,y\in D}$
を考える．

関手 $p:T\to C,\;q:T\to D$ に対し，自然変換
$\phi =\{\phi_{x,\,y}\}_{x\in C,\,y\in D},\qquad \psi =\{\psi_{x,\,y}\}_{x\in C,\,y\in D}$
は，それぞれ写像
$\phi_{p,\,q}: \mathrm{Hom}_{T,\,D}(up,\,q)\to \mathrm{Hom}_{T,\,C}(p,\,vq),$
$\psi_{p,\,q}: \mathrm{Hom}_{T,\,C}(p,\,vq)\to \mathrm{Hom}_{T,\,D}(up,\,q)$
を誘導する．

写像
$\phi_{1_C,\,u}: \mathrm{Hom}_{C,\,D}(u,\,u)\to \mathrm{Hom}_{C,\,C}(1_C,\,vu),$
$\psi_{v,\,1_D}: \mathrm{Hom}_{D,\,C}(v,\,v)\to \mathrm{Hom}_{D,\,D}(uv,\,1_D)$
は，それぞれ自然変換
$(\eta :1_C\to vu) =\phi_{1_C,\,u}(1_u),$
$(\epsilon :uv\to 1_D) =\psi_{v,\,1_D}(1_v)$
を定める．

逆に，自然変換 $\eta :1_C\to vu$ は，
$g\in \mathrm{Hom}_D(u(x),\,y)$ に対し，
$v(g)\in \mathrm{Hom}_C(vu(x),\,v(y))$ と
$\eta_x\in \mathrm{Hom}_C(x,\,vu(x))$ を合成して，
$\phi_{x,\,y}(g) =v(g)\circ \eta_x \in \mathrm{Hom}_C(x,\,v(y))$
を誘導する．
自然変換 $\epsilon :uv\to 1_D$ は，
$f\in \mathrm{Hom}_C(x,\,v(y))$ に対し，
$u(f)\in \mathrm{Hom}_D(u(x),\,uv(y))$ と
$\epsilon_y\in \mathrm{Hom}_D(uv(y),\,y)$ を合成して，
$\psi_{x,\,y}(f) =\epsilon_y \circ u(f)\in \mathrm{Hom}_D(u(x),\,y)$
を誘導する．

上で構成した $\phi \mapsto \eta,\;\eta \mapsto \phi$ はたがいに逆であり，
$\psi \mapsto \epsilon,\;\epsilon \mapsto \psi$ はたがいに逆である．

このとき， $\psi_{x,\,y} \circ \phi_{x,\,y} =\mathbf{1}$ は，
$\eta *v: v\to vuv,\;v*\epsilon :vuv\to v$ の合成が
$(v*\epsilon) \circ (\eta *v) =\mathbf{1}_v$ であることに同値．
$\phi_{x,\,y} \circ \psi_{x,\,y} =\mathbf{1}$ は，
$u*\eta : u\to uvu,\;\epsilon*u :uvu\to u$ の合成が
$(\epsilon*u) \circ (u*\eta) =\mathbf{1}_u$ であることに同値．