Bratchikov, Perturbation theory for nonlinear equations

http://jp.arxiv.org/abs/0910.3429

標数0の体上の次数つきベクトル空間
$V=\bigoplus_{n=1}^\infty V_n$
において， $x_1\in V_1,$ および次数を保つ対称多重線型写像
$(\;)_n:V^{\otimes n}\to V$
に対し，方程式
$x=x_1+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}(x\cdots x)_n$
を考える．

$x=\sum_{n=1}^\infty x_n,\quad x_n\in V_n$
とおくと，
$x_n=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}\sum_{(i_1,\,\dots,\,i_k)}(x_{i_1}\cdots x_{i_k})_k.$
和は， $i_1+\cdots +i_k=n,\,i_j\geq 1$ をみたすもの全体について．

対称多重線型写像
$\langle\;\rangle_n:V^{\otimes n}\to V$
を，
$\langle v_1\rangle_1=v_1,\qquad \langle v_1v_2\rangle_2=(v_1v_2)_2,$
$\langle v_1\cdots v_n\rangle_n =\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}\sum_{(I_1,\,\dots,\,I_k)}(\langle v_{I_1}\rangle\cdots \langle v_{I_k}\rangle )_k$
で定義する．和は， $\{1,\,2,\,\dots,\,n\}$ の分割全体について．

$\{1,\,2,\,\dots,\,n\}$ の分割　 $(I_1,\,\dots,\,I_k)$ で
$|I_1|=i_1,\,\dots,\,|I_k|=i_k$
をみたすものは
$\frac{n!}{i_1!\cdots i_k!}$
個あることから，
$x_n=\frac{1}{n!}\langle x_1\cdots x_1\rangle_n$
が示される．