超曲面の theorema egregium - yoshitake-hのブログ

$n+1$ 次元 Euclid 空間 $E$ の超曲面 $M$ の単位法ベクトル場 $\nu=\{\nu_p\}_{p\in M}$ に対し，
$S_p=-(\mathrm{d}\nu)_p:T_pM\to T_pM$
を shape operator (Weingarten map) という．
$U$ を $\mathbb{R}^n$ の開集合， $\varphi:U\to E$ を $M$ のパラメータ表示とする．
$\partial_i\partial_j\partial_k\varphi=\partial_j\partial_i\partial_k\varphi$
を接・法方向に分けると，
$\wedge^2S_p:\wedge^2T_pM\to \wedge^2T_pM$
が $M$ のRiemann 曲率に一致することがわかる．
$\{\partial_i\varphi\}_{i=1}^n$ は $M$ の接ベクトル空間 $T_pM$ の基底を与える．
$g_{ij}=\langle \partial_i\varphi,\,\partial _j\varphi\rangle,\qquad \partial_j\nu=-S_j^i\partial_i\varphi$
とおく．直交射影
$\pi_T:T_pE\to T_pM,\qquad \pi_\perp:T_pE\to T_pM^\perp$
に対し，
$\pi_T\partial_i\partial_j\varphi =\nabla_i(\partial_j\varphi)=\Gamma_{ij}^k\partial_k\varphi$
とおく．
$\pi_\perp\partial_i\partial_j\varphi =\langle\partial_i\partial_j\varphi,\,\nu\rangle\nu =-\langle\partial_j\varphi,\,\partial_i\nu\rangle\nu =g_{jk}S^k_i\nu.$
よって，
$\pi_T\partial_i\pi_T\partial_j\partial_k\varphi =\nabla_i\nabla_j(\partial_k\varphi),$
$\pi_T\partial_i\pi_\perp\partial_j\partial_k\varphi =\pi_T\partial_i(g_{kl}S^l_j\nu) =g_{kl}S^l_j\partial_i\nu =-g_{kl}S^l_jS^m_i\partial_m\varphi.$
したがって，

$[\nabla_i,\,\nabla_j](\partial_k\varphi) =g_{kl}(S^l_jS^m_i-S^l_iS^m_j)\partial_m\varphi.$

$\partial_i\langle \partial_j\varphi,\,\partial_k\varphi\rangle =\langle \partial_i\partial_j\varphi,\,\partial_k\varphi\rangle +\langle \partial_j\varphi,\,\partial_i\partial_k\varphi\rangle$
より，
$\partial_ig_{jk} =\Gamma_{ij}^lg_{lk} +g_{jl}\Gamma_{ik}^l.$
$\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k$ に注意すると，
$\Gamma_{ij}^k =\frac{1}{2}g^{kl}(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij}).$