数列の収束 - yoshitake-hのブログ

数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が実数 $\alpha$ に 収束する とは，任意の $\varepsilon >0$ に対し，自然数 $N$ が存在して，
$|a_N-\alpha|<\varepsilon, \quad |a_{N+1}-\alpha|<\varepsilon, \quad |a_{N+2}-\alpha|<\varepsilon, \quad \dots$
が成り立つこと．

この無限個の不等式を，集合を導入することによって簡潔に言い表してみよう．
$A_n=\{a_k\mid k\geq n\},$
$U(\alpha,\varepsilon)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-\alpha |<\varepsilon \}$
とおく．
数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が実数 $\alpha$ に収束するとは，任意の $\varepsilon >0$ に対し，自然数 $N$ が存在して， $A_N\subset U(\alpha,\varepsilon)$
が成り立つこと．
数列の収束は，集合の減少列 $A_1\supset A_2\supset \cdots$ に関する条件なのである．

この無限個の包含関係を，集合族を導入することによって簡潔に言い表してみよう．
$\mathbb{R}$ の部分集合族 $\mathcal{A}$ に対し， $\mathcal{A}$ に属するある集合を含む $\mathbb{R}$ の部分集合の全体を $\mathcal{F}(\mathcal{A})$ と書く．
数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が実数 $\alpha$ に収束するとは，
$\mathcal{F}(\{A_n\}_{n=1}^\infty)\supset \mathcal{F}(\{U(\alpha,\varepsilon)\mid \varepsilon >0\})$
が成り立つこと．
$\mathcal{F}(\{U(\alpha,\varepsilon)\mid \varepsilon >0\})$
に属する $\mathbb{R}$ の部分集合を， $\alpha$ の近傍という．