線形代数学２ - yoshitake-hのブログ

線形写像．

比例定数の一般化としての行列と導関数
数学は量と量の関係を記述する．
量と量の関係のうち，もっとも簡単なものは比例　 $y=ax$ である．
比例は 比例定数 $a$ によって決まる．
比例の一般化として次の2つの方向が考えられるが，そのとき比例定数に相当するものは何だろうか？
(1) ベクトルの比例
たとえば，ベクトル $\left[\begin{array}{c} y_1\\ y_2 \end{array}\right]$ がベクトル $\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$ に "比例する" とは，
$\left[\begin{array}{c} y_1\\ y_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} a_{11}x_1\\ a_{21}x_1 \end{array}\right] +\left[\begin{array}{c} a_{12}x_2\\ a_{22}x_2 \end{array}\right] +\left[\begin{array}{c} a_{13}x_3\\ a_{23}x_3 \end{array}\right]$
のように， $x_1,\,x_2,\,x_3$ に比例する項の和で書けることとするのが自然であろう．
右辺を
$\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$
と書くことにする．比例定数に相当するものが行列
$\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right]$
である．
(2) 関数
関数 $y=f(x)$ に対して， $y$ の微小変化は $x$ の微小変化に比例すると考えられる．
比例定数に相当する
$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
を， $x$ における $f$ の 微分係数 という．微分係数を $x$ の関数と見なしたものが $f$ の 導関数 である．
$\lim_{\Delta x\to 0} \frac{|f(x+\Delta x)-f(x)-f'(x)\Delta x|}{|\Delta x|}=0$
と書きなおすと， $f(x+\Delta x)-f(x)$ を $\Delta x$ に比例する量 $f'(x)\Delta x$ で近似している，と見ることができる．