関数論 - yoshitake-hのブログ

級数．

無限小数，たとえば $3.14159\cdots$ が確定した意味をもっているとなぜいえるのだろうか？この問に対して3つの答がある．
(1) 等式 $\pi=3.14159\cdots$ を，不等式の列
$3\leq \pi \leq 4,\quad 3.1\leq \pi \leq 3.2,\quad 3.14\leq \pi \leq 3.15,\quad \cdots$
と解釈する．
(2) 数列 $a_0=3,\,a_1=3.1,\,a_2=3.14,\,\dots$ の極限と解釈する．
(3) 有限小数との大小が確定しているもの，ととらえる．

無限小数の3つの解釈は，実数の有限性のさまざまな表現，すなわち次の同値な条件に対応している．
(1) 区間縮小法：有界閉区間の減少列
$[a_1,\,b_1]\supset [a_2,\,b_2]\supset [a_3,\,b_3]\supset \cdots$
が $\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$ をみたすとき，
$\bigcap_{n=1}^\infty [a_n,\,b_n]=\{x\}$
となる実数 $x$ がただ1つ存在する．
(2a) 有界かつ単調な実数列は収束する．
(2b) コーシー列は収束する．
(3) 切断： $\mathbb{R}$ の空でない部分集合 $A,\,B$ に対し， $\mathbb{R}=A\cup B$ および，
$a\in A,\,b\in B$ ならば $a< b$
をみたすとき，実数 $x$ があって，
$A=(-\infty,\,x],\,B=(x,\,\infty)$ かまたは $A=(-\infty,\,x),\,B=[x,\,\infty).$

(2a) ⇒ (1): (1) の設定において，(2a) より， $\lim_{n\to \infty}a_n,\,\lim_{n\to \infty}b_n$ が存在して相等しい．
その値を $x$ とおくと，
$\bigcap_{n=1}^\infty [a_n,\,b_n]=\{x\}.$
(2b) ⇒ (2a): $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が増大列であってコーシー列でないとすると， $\varepsilon>0$ および自然数
$m_1<n_1<m_2<n_2<m_3<n_3<\cdots$
があって， $a_{n_k}-a_{m_k}\geq \varepsilon$ が成り立ち， $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が有界でないことがわかる．

(3) ⇒ (2b): コーシー列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ に対し，
$B=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty [a_k,\,\infty)$
とその補集合が切断になるので，実数 $x$ が存在して，
$B=[x,\,\infty)$ または $B=(x,\,\infty).$
このとき $\lim_{n\to\infty}a_n=x.$
(1) ⇒ (3): 切断 $\{A,\,B\}$ に対し，実数列 $\{a_n\in A\}_{n=1}^\infty,\;\{b_n\in B\}_{n=1}^\infty$ を，
$(a_{n+1},\,b_{n+1})=(\frac{a_n+b_n}{2},\,b_n)$ または $(a_n,\,\frac{a_n+b_n}{2})$
が成り立つように選べる．有界閉区間の列 $[a_n,\,b_n]$ は (1) の仮定をみたすので，
$\bigcap_{n=1}^\infty [a_n,\,b_n]=\{x\}$
となる実数 $x$ がただ1つ存在する．よって
$A=(-\infty,\,x],\,B=(x,\,\infty)$ かまたは $A=(-\infty,\,x),\,B=[x,\,\infty).$