血液型の割合 - yoshitake-hのブログ

ある国の血液型それぞれの割合を， $P_\mathrm{OO},P_\mathrm{OA},P_\mathrm{AA},P_\mathrm{OB},P_\mathrm{BB},P_\mathrm{AB}$ とする．
ランダムに選んだある人からその子どもに遺伝する血液型の因子が O, A, B である確率をそれぞれ $P_\mathrm{O},P_\mathrm{A},P_\mathrm{B}$ とすると，
$P_\mathrm{OO}={P_\mathrm{O}}^2,\; P_\mathrm{AA}={P_\mathrm{A}}^2,\; P_\mathrm{BB}={P_\mathrm{B}}^2,$
$P_\mathrm{OA}=2P_\mathrm{O}P_\mathrm{A},\; P_\mathrm{OB}=2P_\mathrm{O}P_\mathrm{B},\; P_\mathrm{AB}=2P_\mathrm{A}P_\mathrm{B}$
がなりたつ．よって，
$P_\mathrm{O}=\sqrt{P_\mathrm{OO}},\quad P_\mathrm{O}+P_\mathrm{A}=\sqrt{P_\mathrm{OO}+P_\mathrm{OA}+P_\mathrm{AA}},\quad P_\mathrm{O}+P_\mathrm{B}=\sqrt{P_\mathrm{OO}+P_\mathrm{OB}+P_\mathrm{BB}}$
となり，したがって，

$\sqrt{P_\mathrm{OO}+P_\mathrm{OA}+P_\mathrm{AA}}+\sqrt{P_\mathrm{OO}+P_\mathrm{OB}+P_\mathrm{BB}}-\sqrt{P_\mathrm{OO}}=1$

が成立する．

この等式を実際のデータで確かめてみよう．
http://www10.ocn.ne.jp/~kanam/distribution_of_a_blood_type.html
によると，たとえば日本では
$P_\mathrm{OO}=0.305,\;P_\mathrm{OA}+P_\mathrm{AA}=0.382,\; P_\mathrm{OB}+P_\mathrm{BB}=0.219$
となっている．
電卓で計算してみたところ，
$\sqrt{P_\mathrm{OO}+P_\mathrm{OA}+P_\mathrm{AA}}+\sqrt{P_\mathrm{OO}+P_\mathrm{OB}+P_\mathrm{BB}}-\sqrt{P_\mathrm{OO}}$
$=\sqrt{0.687}+\sqrt{0.524}-\sqrt{0.305}=1.000465$
となった．

（ついでに各割合を求めると，
$P_\mathrm{O}=\sqrt{0.305}=0.552268,$
$P_\mathrm{A}=\sqrt{0.687}-\sqrt{0.305}=0.2765866,$
$P_\mathrm{B}=\sqrt{0.524}-\sqrt{0.305}=0.1716104,$
$P_\mathrm{OA}=2\times 0.552268\times 0.2765866=0.3054998,$
$P_\mathrm{AA}=0.2765866^2=0.0765001,$
$P_\mathrm{OB}=2\times 0.552268\times 0.1716104=0.1895498,$
$P_\mathrm{BB}=0.1716104^2=0.0294501.$ ）

他に被検査数の多いドイツ，イギリスについても計算してみると，
$\sqrt{0.391+0.435}+\sqrt{0.391+0.125}-\sqrt{0.391}=1.0018768,$
$\sqrt{0.467+0.417}+\sqrt{0.467+0.086}-\sqrt{0.467}=1.0004784.$