対称多項式 - yoshitake-hのブログ

Young 図
$Y=(a_1,a_2,\dots)\;(a_1\geq \cdots \geq a_k>a_{k+1}=a_{k+2}=\cdots=0)$
に対し，
$h(Y)=a_1,\quad w(Y)=k$
とおく．
$h(Y_1+Y_2)=h(Y_1)+h(Y_2),\quad w(Y_1+Y_2) =\max\{h(Y_1),h(Y_2)\}$
がなりたつ．

$Y$ に対応する対称多項式を
$s_Y={x_1}^{a_1}\cdots{x_k}^{a_k}+\cdots$
とする．
$h=1,\; w=k$ なる Young 図 $(1^k)$ に対応する対称多項式を $k$ 次基本対称多項式という．

$Y=Z+(1^{w(Y)})$
のとき， $h(Z)=h(Y)-1$ であり，
また $s_Zs_{(1^{w(Y)})}-s_Y$ は， $h\leq h(Y), \; w>w(Y)$ なる Young 図に対応する対称多項式の和で書ける．

$(h(Y_1),-w(Y_1))\leq (h(Y_2),-w(Y_2))$
を，辞書式順序
$h(Y_1)<h(Y_2)\quad \mathrm{or}\quad h(Y_1)=h(Y_2),\;w(Y_1)\geq w(Y_2)$
で定義すると，帰納法により，対称多項式が基本対称多項式の多項式で書けることがわかる．