2, 3, 4次方程式の解法 - yoshitake-hのブログ

$X^2+c_1X+c_2=(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)$
に対し，
$\beta=\alpha_1-\alpha_2$
とおくと， $\beta,\, c_1$ の1次式で $\alpha_1,\,\alpha_2$ が書ける．
根 $\alpha_1,\,\alpha_2$ の置換は， $\pm\beta$ の置換をひきおこす．
これらを根とする2次方程式 $Y^2+b=0$ の係数は， $\alpha_1,\,\alpha_2$ の対称多項式になるので $c_1,\,c_2$ の多項式で書ける．
この2次方程式は平方根を求めることによって解ける．

$X^3+c_1X^2+c_2X+c_3=(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3)$
に対し，
$\beta_j=\alpha_1+\omega^j\alpha_2+\omega^{2j}\alpha_3,\quad \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}2,\quad j=1,\,2$
とおくと， $\beta_1,\,\beta_2,\,c_1$ の1次式で $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3$ が書ける．
根 $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3$ の置換は， $\beta_1,\,\omega\beta_1,\,\omega^2\beta_1,\,\beta_2,\,\omega\beta_2,\,\omega^2\beta_2$ の置換をひきおこす．
これらを根とする6次方程式 $Y^6+b_1Y^3+b_2=0$ の係数は， $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3$ の対称多項式になるので $c_1,\,c_2,\,c_3$ の多項式で書ける．
この6次方程式は2次方程式の解の立方根を求めることによって解ける．
ここで， $\beta_1\beta_2$ が $c_1,\,c_2$ の多項式で書けることに注意．

$X^4+c_1X^3+c_2X^2+c_3X+c_4=(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3)(X-\alpha_4)$
に対し，
$\beta_1=(\alpha_1+\alpha_2)-(\alpha_3+\alpha_4)$
$\beta_2=(\alpha_1+\alpha_3)-(\alpha_2+\alpha_4)$
$\beta_3=(\alpha_1+\alpha_4)-(\alpha_2+\alpha_3)$
とおくと， $\beta_1,\,\beta_2,\,\beta_3,\,c_1$ の1次式で $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3,\,\alpha_4$ が書ける．
根 $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3,\,\alpha_4$ の置換は， $\pm\beta_1,\,\pm\beta_2,\,\pm\beta_3$ の置換をひきおこす．
これらを根とする6次方程式 $Y^6+b_1Y^4+b_2 Y^2+b_3=0$ の係数は， $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3,\,\alpha_4$ の対称多項式になるので $c_1,\,c_2,\,c_3,\,c_4$ の多項式で書ける．
この6次方程式は3次方程式の解の平方根を求めることによって解ける．
ここで， $\beta_1\beta_2\beta_3$ が $c_1,\,c_2,\,c_3$ の多項式で書けることに注意．

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20060201