Hausdorff 空間 - yoshitake-hのブログ

定理　位相空間 $X$ に対し，次は同値：
(1) $X$ は Hausdorff ．
(2) 任意の位相空間 $T$ および連続写像 $f:T\to X$ に対し，
$(\mathrm{id}_T,\,f):T\to T\times X$ が閉写像．
証明
(2) ⇒ (1)： $T=X,\quad f=\mathrm{id}_X$ とおけばよい．
(1) ⇒ (2)：仮定より，対角集合 $\Delta_X\subset X\times X$ は閉集合．
よって $T$ の閉集合 $A$ に対し，
$(\mathrm{id}_T,\,f)(A)=(A\times X)\cap (f\times\mathrm{id}_X)^{-1}(\Delta_X)$
は閉集合．//