勉強会

math

ツチヤさん，ナカイくんと．私は Lurie, "Higher Topos Theory" の第２回．前回につづき Appendix．その後ナカイくんが Ravenel の仕事の紹介．打ち上げは二子玉川「旬采」．

∞ 圏

  • 数学でもっとも基本的な概念は 集合 であろう．それは，「考えている対象の全体を考える」という方法である．しかし，集合の全体は集合にならない．思えばこれが，長い旅のはじまりだったのかも知れない．
  • では，集合の全体はどうとらえたらよいのだろうか？　それを可能にするのが 圏 の概念である．集合の全体は圏をなすのである．
  • 圏の全体は2圏をなす．2圏の全体は3圏をなし，3圏の全体は4圏をなし，と続けていきたいわけだが，n 圏の定義を正確に述べることは，n が大きくなると複雑すぎて事実上不可能である．ましてや ∞ 圏などは．
  • そこで，よりやさしい問題を考える：「∞ 圏で，k+1 次以上の射が可逆なものを定義せよ．」これを (∞, k) 圏という．(∞,0) 圏を ∞ 亜群とよぶ．Lurie, "Higher Topos Theory" では，(∞, 1) 圏を単に ∞ 圏とよんでいる．

∞ 亜群

  • 位相空間 X に対し，X の点を対象とし，2点を結ぶ道のホモトピー類を射とする亜群が定義される．これを X の 基本亜群 という．
  • また，X の点を対象とし，2点を結ぶ道を1射とし，道の間のホモトピーのホモトピー類を2射とする2亜群が定義される．これを X の基本2亜群とよぶ．
  • 同様に，X の基本 n 亜群，基本 ∞ 亜群が定義されてしかるべきである．というか，そうなるように，n 亜群，∞ 亜群を定義しなければならない．
  • これを逆手にとって，「∞ 亜群とは位相空間のホモトピー型のことである」と定義するという手が考えられる．