Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations, AMS (2003)

モデル圏とは，３つの射のクラス，cofibration (cof)，fibration (fib)，weak equivalence (weq) が与えられている圏で，次の公理をみたすものである．
（M1）（小）余極限，（小）極限が存在する．
（M2）射 $f:X\to Y,\quad g:Y\to Z$ に対し， $f,\quad g,\quad gf$ のうち２つが weq ならば，もう１つもweq．
（M3）cof [resp. fib, weq] のレトラクトは cof [resp. fib, weq]．
（M4）可換図式 $i:A\to B,\quad A\to X,\quad p:X\to Y,\quad B\to Y$ に対し，
　（a） $i$ が cof-weq， $p$ が fib ならば，図式を可換にする射 $B\to X$ が存在する．
　（b） $i$ が cof， $p$ が fib-weq ならば，図式を可換にする射 $B\to X$ が存在する．
（M5）射 $X\to Z$ に対し，
　（a）factorization $X\to Y\to Z$ で， $X\to Y$ が cof， $Y\to Z$ が fib-weq となるものが存在する．
　（b）factorization $X\to Y'\to Z$ で， $X\to Y'$ が cof-weq， $Y'\to Z$ が fib となるものが存在する．

これだけの公理から理論ができてしまうのは驚き．