テンソル - yoshitake-hのブログ

量 $z$ が２つの量 $x, y$ に比例するとき，定数 $a$ があって， $z=axy$ と書ける．この式を，「 $z$ が $xy$ という１つの量に比例する」と見ることもできる．量 $xy$ は，２つの量 $x, y$ に比例する量のうちもっとも基本的なものと言える．
この考察を， $x, y, z$ がベクトルである場合に一般化するとどうなるかを考えるとき，あらわれるのがテンソルの概念である．
ベクトル空間 $X, Y, Z$ に対し，双線型写像 $X\times Y\to Z$ が，「２つの量に比例する量」をベクトルに一般化した概念である．このとき，ベクトル空間 $X\otimes Y$ があって，双線型写像 $X\times Y\to Z$ は双線型写像 $X\times Y\to X\otimes Y$ と線型写像 $X\otimes Y\to Z$ の合成になる．このようにして，双線型写像 $X\times Y\to Z$ は，線型写像 $X\otimes Y\to Z$ と1対1対応する．これは，ベクトル空間 $X\otimes Y$ が， $Z$ に双線型写像 $X\times Y\to Z$ 全体の集合に対応させる関手を表現しているということである．