光なしの相対論 - yoshitake-hのブログ

2次元時空において，慣性系の間の原点を保つ座標変換は，速度でパラメトライズされる $\mathbb{R}$ に同型な $GL_2(\mathbb{R})$ の部分群になる．
相対性原理の要請により，これが $SL_2(\mathbb{R})$ にふくまれることがわかる．
$SL_2(\mathbb{R})$ の1次元連結部分群の共役類は分類され，そのうち $\mathbb{R}$ に同型なものはローレンツ変換群かガリレイ変換群である．

慣性系 K，K' に関する時空の1点の位置と時刻をそれぞれ $(x,t), (x',t')$ とする．
K に関して等速直線運動する質点は K' に関しても等速直線運動する．
したがって，座標変換は，直線 $x=x_0+ut$ を直線 $x'=x'_0+u't'$ にうつす．
また，たがいにまじわらない2直線は，たがいにまじわらない2直線にうつされる．
したがって，平行四辺形とその対角線は平行四辺形とその対角線にうつされる．
このことから，座標変換が1次式で書けることがわかる．
$(x,t)=(0,0)$ のとき $(x',t')=(0,0)$ であると仮定すると，座標変換は線型になる．

K' の位置の原点が K から見て速度 $v$ で動くとすると，
$x'=a(x-vt),\quad x=a(x'+vt')$ と書ける．
$a$ が共通にとれるのは，相対性原理による．
$a$ は速度 $v$ の関数である．

$x=a(a(x-vt)+vt')$ より， $t'=-\frac{a^2-1}{av}x+at.$
よって，座標変換 $(x,t)\to (x',t')$ をあらわす行列を $P(v)$ とすると，
$P(v)=\left(\begin{array}{cc}a & -av \\ -\frac{a^2-1}{av} & a\end{array}\right).$
$P(v)$ の行列式は1なので， $G:=\{P(v)\mid v\in I\}$ ( $I$ は開区間）は $\mathbb{R}$ に同型な， $SL_2(\mathbb{R})$ の部分群になる．

$SL_2(\mathbb{R})$ の1次元連結部分群は，リー環
$sl_2(\mathbb{R})=\{\left(\begin{array}{cc}p_1 & p_2+p_3 \\ p_2-p_3 & -p_1\end{array}\right)\}$
の1次元部分ベクトル空間に対応する．
$SL_2(\mathbb{R})$ の随伴作用は行列式 $\delta:=-{p_1}^2-{p_2}^2+{p_3}^2$ を保ち，軌道は
原点，一葉双曲面 $\delta=\mathrm{const.}<0,$
錐（頂点を除く） $\delta=0, p_3>0;\quad \delta=0, p_3<0,$
二葉双曲面の連結成分 $\delta=\mathrm{const.}>0, p_3>0;\quad \delta=\mathrm{const.}>0, p_3<0$
である．
したがって， $sl_2(\mathbb{R})$ の1次元部分ベクトル空間は， $SL_2(\mathbb{R})$ の随伴作用によって，
$\mathbb{R}\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right),\quad \mathbb{R}\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right),\quad \mathbb{R}\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$
のいずれかにうつる．
対応する $SL_2(\mathbb{R})$ の部分群は，それぞれ $SO(1,1),\quad \left(\begin{array}{cc}1 & \mathbb{R} \\ 0 & 1\end{array}\right),\quad SO(2)$ である．
$SO(2)$ は $\mathbb{R}$ と同型でないので， $G$ は最初の2つのいずれかと共役になる．
したがって， $P(v)$ は，ある (1,1) 計量に関するローレンツ変換か，ガリレイ変換になる．

N. D. Mermin, Am. J. Phys. 55, 585 (1984).