Pfaffian

math

2n 次交代行列 A に対し，\det(A)=\mathrm{Pf}(A)^2.
証明
A=(a_{ij}) に対し，
\det(A)=\sum_{\sigma \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma)D_\sigma,\quad D_\sigma=\prod_{i=1}^{2n}a_{i\sigma(i)},
\mathrm{Pf}(A)=\sum_{\tau \in S'}\mathrm{sgn}(\tau)P_\tau,\quad P_\tau=\prod_{i=1}^na_{\sigma(2i-1)\sigma(2i)}
とおく．ここで S' は，\{1,2,\dots,2n\} 上の置換で，\tau(2i-1)<\tau(2i),\tau(2i+1) をみたすもの．

\sigma\in S_{2n} をたがいに可換な巡回置換（サイクル）の積に分解する．
\sigma が奇数次のサイクルをふくむ場合，1つの奇数次のサイクルを逆にしたものを \sigma^- とすると，
\mathrm{sgn}(\sigma^-)=\mathrm{sgn}(\sigma),\quad D_{\sigma^-}=-D_\sigma. よってこのような項どうしは相殺する．

写像 f:S'\to S_{2n} を
f(\tau)=(\tau(1)\;\tau(2))(\tau(3)\;\tau(4))\cdots(\tau(2n-1)\;\tau(2n))
で定義する．
\sigma が互換の積の場合，\sigma=f(\tau) となる \tau\in S' がただ1つあり，
\mathrm{sgn}(\tau(2n-1)\;\tau(2n))a_{\tau(2n-1)\tau(2n)}a_{\tau(2n)\tau(2n-1)} =(a_{\tau(2n-1)\tau(2n)})^2
なので，\mathrm{sgn}(\sigma)D_\sigma=(\mathrm{sgn}(\tau)P_\tau)^2.
\sigma が偶数次のサイクルのみの場合，長さ4以上のサイクルが k 個あるとする．
D_{\rho}=D_\sigma となる \rho\in S_{2n} は，長さ4以上のサイクルの一部を逆にするものなので，2^k 個あり，\mathrm{sgn}(\rho)=\mathrm{sgn}(\sigma).
D_\sigma=\pm P_\tau P_{\tau'} となる (\tau,\tau')\in S'\times S' は，長さ4以上の各サイクルの辺を1つおきに2つに分けるやり方だけあるので，2^k 個あり，\mathrm{sgn}(\sigma)D_\sigma=\mathrm{sgn}(\tau{\tau'}^{-1})P_\tau P_{\tau'} もわかる．//